Πεπερασμένο σώμα

Στα μαθηματικά, ένα σώμα καλείται πεπερασμένο αν το πλήθος των στοιχείων του είναι πεπερασμένο. Ένα πεπερασμένο σώμα λέγεται αλλιώς και σώμα Γκαλουά προς τιμήν του Γάλλου μαθηματικού Γκαλουά. Τα πεπερασμένα σώματα είναι σημαντικά στην Θεωρία αριθμών, την Αλγεβρική γεωμετρία, την Κρυπτογραφία και τη Θεωρία κωδικοποίησης.

Κατηγοριοποίηση

Τα πεπερασμένα σώματα έχουν μελετηθεί πλήρως και κατηγοριοποιούνται ως εξής: :

• Κάθε πεπερασμένο σώμα έχει pⁿ στοιχεία, όπου p πρώτος αριθμός n ≥ 1 ακέραιος. (Το p ονομάζεται χαρακτηριστική του σώματος.)
• Για κάθε πρώτο p και κάθε ακέραιο n ≥ 1, υπάρχει ένα πεπερασμένο σώμα με pⁿ στοιχεία.
• Όλα τα σώματα με pⁿ στοιχεία είναι ισόμορφα μεταξύ τους. Μπορούμε να ταυτίσουμε όλα τα σώματα με τον ίδιο αριθμό στοιχείων. Συμβολισμός: GF(pⁿ). όπου τα γράμματα "GF" προέρχονται από το αγγλικό "Galois field" (σώμα Γκαλουά).

Παραδείγματα

Παρακάτω δίνεται ο πίνακας Κέιλι μερικών παραδειγμάτων πεπερασμένων σωμάτων:

GF(2):

 + | 0 1        · | 0 1
 --+----        --+----
 0 | 0 1        0 | 0 0
 1 | 1 0        1 | 0 1

GF(3):

 + | 0 1 2       · | 0 1 2
 --+------       --+------
 0 | 0 1 2       0 | 0 0 0
 1 | 1 2 0       1 | 0 1 2
 2 | 2 0 1       2 | 0 2 1

GF(4):

 + | 0 1 A B       · | 0 1 A B
 --+--------       --+--------
 0 | 0 1 A B       0 | 0 0 0 0
 1 | 1 0 B A       1 | 0 1 A B
 A | A B 0 1       A | 0 A B 1
 B | B A 1 0       B | 0 B 1 A